\documentclass{jetpl} \usepackage[cp1251]{inputenc} \usepackage[english,russian]{babel} \twocolumn %%% статья по-русски \rus %%% определение нового математического оператора \DeclareMathOperator{\Tr}{Tr} %%% название \title{Наблюдение дробных гармоник в сигнале ЯМР в сверхтекучем $^3$He\Д В} %%% название - для колонтитулов (вверху страницы) \rtitle{Наблюдение дробных гармоник в сигнале ЯМР\ldots} %%% название - для оглавления (обычно совпадает с \title) \sodtitle{Наблюдение дробных гармоник в сигнале ЯМР в сверхтекучем $^3$He\Д В} %%% автор(ы) (+ электронный адрес) \author{В.\,В.\,Дмитриев\/\thanks{dmitriev@kapitza.ras.ru}, И.\,В.\,Косарев, Д.\,В.\,Понарин} %%% автор(ы) - для колонтитула (вверху страницы) \rauthor{В.\,В.\,Дмитриев, И.\,В.\,Косарев, Д.\,В.\,Понарин} %%% автор(ы) - для оглавления \sodauthor{Дмитриев, Косарев, Понарин} %%% адрес(а) \address{Институт физических проблем им.~П.Л.Капицы РАН, 117334 Москва, Россия} %%% даты подачи статьи и вторичной подачи после переработки (если статья %%% подается первый раз, вместо второго аргумента ставится *) \dates{29 декабря 1998\,г.}{*} %%% аннотация \abstract{Методами непрерывного ЯМР проведены исследования необычных состояний спиновой прецессии $^3$He\Д B, в которых величина намагниченности равна половине от равновесной. В двух таких состояниях были обнаружены сигналы на частотах, равных $1/2$ и~$3/2$ от частоты прецессии намагниченности. Наличие таких сигналов связано с тем, что параметр порядка сверхтекучего~$^3$He в данных состояниях прецессирует с частотой, равной половине частоты прецессии намагниченности.} %%% PACS numbers \PACS{67.57.Lm, 76.60.-k} \begin{document} \maketitle Спиновая динамика сверхтекучего~$^3$He определяется уравнениями Леггетта, описывающими движения намагниченности~${\bf M}$ и параметра порядка~\cite{bib:L}: \begin{align} \dot{\bf M}&=g{\bf M}\times{\bf H}+{\bf R}_D,\label{eq:1}\\ \dot{\bf d}&={\bf d}\times g({\bf H}-{\bf M}/\chi),\label{eq:2} \end{align} где ${\bf d}\hm={\bf d}({\bf k})$\т параметр порядка в векторном представлении, $\bf k$\т единичный вектор в орбитальном пространстве, $\chi$\т восприимчивость, $g$\т гиромагнитное отношение, $\bf H$\т полное внешнее магнитное поле и ${\bf R}_D$\т дипольный момент. В В\Д фазе сверхтекучего~$^3$He, о которой дальше пойдет речь, ${\bf d}({\bf k})\hm=\widehat{\bf R}{\bf k}$, $\widehat{\bf R}$\т матрица поворота спинового пространства, которую можно параметризовать углами Эйлера или углом поворота~$\Theta$ вокруг некоторой оси~$\bf n$. Дипольный момент возникает из\Д за энергии~${\bf F}_D$, связанной с диполь\д дипольным взаимодействием ядер~$^3$He и зависящей от взаимной ориентации спинового и орбитального пространств: \begin{equation} {\bf F}_D=\frac2{15}\chi\left(\frac{\Omega_B}g\right)^2\left(\Tr \widehat{\bf R}-\frac12\right)^2,\label{eq:3} \end{equation} где $\Omega_B$\т частота продольного~ЯМР, характеризующая силу диполь\д дипольного взаимодействия. Дипольная энергия определяет устойчивые спин\д орбитальные конфигурации и, связывая движение $\bf M$ и~$\bf d$, приводит к существованию разных мод~ЯМР, отличающихся частотой и характером движения $\bf M$ и~$\bf d$. Для поиска возможных динамических спиновых состояний можно использовать метод минимизации дипольной энергии. Для прецессирующих состояний углы, определяющие матрицу~$\widehat{\bf R}$, зависят от времени и~${\bf F}_D$, вообще говоря, также зависит от времени. Однако в случае $\Omega_B\ll gH$ эту энергию можно усреднить по периодам быстрых движений~\cite{bib:F}, в качестве которых удобно выбрать частоту~($\omega_M$) движения намагниченности, близкую к ларморовской ($\omega_L\hm=gH$), и частоту~($\omega_d$) прецессии~$\bf d$ вокруг мгновенного направления~$\bf M$, равную согласно~(\ref{eq:2}),~$gM/\chi$. Результаты усреднения существенно зависят от соотношения между этими частотами, и наименьшая энергия достигается в ``резонансном'' случае, когда $\omega_M\hm=\omega_d$ и, соответственно, $M\hm\simeq\chi H$. Вскоре после открытия сверхтекучести~$^3$He был экспериментально обнаружен и изучен ряд мод ЯМР\т продольные колебания, мода Бринкмана\ч Смита, пристеночная (wall\д pinned) мода и~ЯМР на пространственном распределении параметра порядка. Все эти моды соответствуют ``резонансному'' случаю или малым колебаниям вблизи таких выделенных спин\д орбитальных конфигураций. Недавно в работе~\cite{bib:KV} была показана возможность существования других выделенных случаев, для которых дипольная энергия минимальна и которые также называют ``резонансными''. В этих случаях величина намагниченности равна $M_0/2$ или~$2M_0$ (здесь $M_0\hm=\chi H$) и, соответственно, параметр порядка движется вдвое медленнее либо вдвое быстрее~$\bf M$. Дальнейшая минимизация усредненной дипольной энергии~$\overline F_D$ показала, что имеется два вырожденных минимума, соответствующих следующим прецессирующим спин\д орбитальным конфигурациям: \begin{alignat}{2} s_z&\simeq0.307,&\qquad l_z&\simeq0.746;\label{eq:4}\\ s_z&\simeq0.746,&\qquad l_z&\simeq0.307,\label{eq:5} \end{alignat} где $\bf s$\т единичный вектор в направлении спина, $\bf l\hm=\widehat{\bf R}s$\т единичный вектор орбитального момента, указывающий направление анизотропии щели B\Д фазы в магнитном поле. Если пренебречь магнитной релаксацией, то, оказавшись в одном из таких состояний, система должна в нем оставаться, то есть прецессия с неравновесными значениями~$M$ может быть устойчивой. В присутствии переменного радиочастотного~(РЧ) поля на частоте~$\omega_{rf}$ (которое компенсирует магнитную релаксацию и задает частоту прецессии~$\bf M$) следует во вращающейся системе координат минимизировать сумму~$\overline F_D$, энергии взаимодействия намагниченности с РЧ\Д полем~($F_{rf}$) и ``спектроскопической'' энергии~($F_\omega$), возникающей из\Д за отличия $\omega_{rf}$ от $\omega_L$~\cite{bib:V}. Состояния прецессии с величиной~$\bf M$, равной половине равновесного значения (Half\д Magnetization, НМ\Д состояния), были недавно обнаружены в экспериментах по непрерывному ЯМР~\cite{bib:PRL}. В этой работе в зависимости от условий наблюдались четыре моды~ЯМР, соответствующие прецессии с величиной намагниченности, близкой к половине равновесного значения и отличающихся величиной и формой сигнала~ЯМР. Было также обнаружено еще одно необычное состояние прецессии (Zero\д magnetization, ZM\Д состояние). Это состояние, соответствующее прецессии с малой величиной намагниченности ($0\hm\div0.3$ от $M_0$), до сих пор не имеет аналитического описания. В дальнейшем была обнаружена еще одна мода, которая, вероятно, также относится к семейству НМ\Д состояний~\cite{bib:EDK}. Как отмечалось выше, в отсутствие РЧ\Д поля векторный параметр порядка в НМ\Д состояниях прецессирует вокруг мгновенного направления~$\bf M$ с~частотой $\omega_d\hm=gM/\chi\hm=\frac12\omega_L$. Это приводит к осцилляциям~${\bf R}_D$ с этой частотой и, соответственно, в движении~$\bf M$ должна появиться составляющая, осциллирующая с частотой $\frac12\omega_L$. Можно показать, что ее амплитуда порядка $\left(\Omega_B/\omega_L\right)^2$ от~$M_0$. Такие малые осцилляции намагниченности в НМ\Д состояниях рассмотрены теоретически в~\cite{bib:KSV}, где было найдено, что в движении всех трех компонент~$\bf M$ возникают гармоники на частотах $\frac12\omega_M$, $\frac32\omega_M$, $\frac52\omega_M$ и $\omega_M$, $2\omega_M$,~$3\omega_M$. Экспериментальное обнаружение дробных ЯМР\Д гармоник и являлось целью данной работы. Измерения проводились в цилиндрической ячейке ($\varnothing\,3.5$\,мм, высота 4\,мм) с осью, ориентированной вдоль постоянного магнитного поля~${\bf H}_0$, и с каналом заполнения $\varnothing\,0.7$\,мм, длиной 4\,мм. Внутренняя поверхность ячейки была оклеена гладкой полимерной (лавсан) пленкой для увеличения времени поверхностной релаксации (в~нормальной фазе при температуре, близкой к $T_c\hm=0.93$\,мК, это время равнялось примерно~1.1\,с). Эксперименты проводились при давлении 0~бар в магнитных полях 404 и 524\,Э (частоты ЯМР 1308 и 1699\,кГц). Для формирования НМ\Д состояний использовалась стандартная схема непрерывного~ЯМР с приемной и возбуждающей двухсекционными сверхпроводящими катушками, ориентированными перпендикулярно~${\bf H}_0$. Частота РЧ\Д поля была фиксирована и изменялось значение~$H_0$ (и, соответственно,~$\omega_L$). Сигнал поперечного~ЯМР на частоте РЧ\Д поля (напомним, что $\omega_{rf}\hm=\omega_M$) детектировался фазочувствительным усилителем, что позволяло следить за изменением двух ортогональных проекций поперечной намагниченности\т дисперсией и поглощением. Кроме этого для детектирования осцилляций~$M_z$ использовался высокодобротный низкотемпературный контур с продольной сверхпроводящей катушкой, резонансная частота которого составляла $1/2$ либо~$3/2$ от частоты РЧ\Д поля. Для улучшения однородности магнитного поля сверхпроводящие ЯМР\Д катушки предварительно переводились в нормальное состояние в поле, соответствовавшем выбранной частоте. При этом однородность поля~$H_0$ по ячейке составляла в разных экспериментах $(2\div5)\cdot10^{-5}$. Состояния с неравновесной величиной~$\bf M$ возникали при непрерывном прохождении линии~ЯМР при больших амплитудах РЧ\Д поля ($0.01\hm\div 0.03$\,Э) во время отогрева образца от температуры примерно~$0.95\,T_c$ до перехода в А\Д фазу (0.986$T_c$ для поля 524\,Э~\cite{bib:KPT}). Упомянутые выше состояния формировались лишь в таком узком температурном диапазоне, так как для этого требуется отклонить~$\bf M$ на угол $\beta\hm\sim180^\circ$ от направления ${\bf H}_0$~\cite{bib:PRL}, что невозможно при более низких температурах из\Д за возникающего при углах $\beta\hm>104^\circ$ большого сдвига частоты поперечного~ЯМР. Будучи образованы, НМ\Д состояния могут быть, однако, охлаждены и до существенно более низких температур (примерно $0.6T/T_c$~\cite{bib:EDK}). При различных температурах, сдвигах частоты от ларморовского значения и в зависимости от направления изменения поля мы наблюдали широкий спектр состояний с неравновесным значением намагниченности (рис.1). Помимо наблюдавшихся ранее в~\cite{bib:PRL,bib:EDK} состояний ZM, НМ1, НМ3, НМ4 и~НМ5, в области $\omega_L\hm-\omega_{rf}\hm>0$ было обнаружено еще одно НМ состояние~(НМ6), переходящее в больших сдвигах частоты в~НМ4. Состояние НМ6 было идентифицировано как НМ\Д состояние путем измерения величины продольной и поперечной компонент~$\bf M$. Для этого (подобно~\cite{bib:PRL}) измерялась начальная амплитуда сигнала свободной индукции после~$90^\circ$ РЧ\Д импульсов, подаваемых с разными фазами в моменты выключения непрерывного РЧ\Д поля, поддерживающего это состояние, а также амплитуда сигнала индукции после выключения РЧ\Д поля без отклоняющего импульса. Для идентификации состояний использовались также компьютерные симуляции~ЯМР. При этом решалась полная система уравнений Леггетта (в переменных ${\bf M}$, ${\bf n}$ и~${\boldsymbol\Theta}$~\cite{bib:BC}) для пространственно однородного случая с учетом релаксационных членов Леггетта\ч Такаги. Результаты симуляций качественно соответствовали эксперименту для всех полученных состояний с неравновесной величиной намагниченности, причем воспроизводились не только форма сигналов~ЯМР (см. рис.2), но и последовательность возникновения этих состояний при возрастании температуры. Небольшое количественное отличие, возможно, связано с тем, что значение~$\tau_{eff}$ (в обозначениях~\cite{bib:BC}) известно недостаточно точно, и с тем, что в симуляциях не учитывались пространственные неоднородности. Однако движение~$\bf M$ в эксперименте должно быть близко к пространственно однородному благодаря высокой однородности магнитного поля и сильному РЧ\Д полю. Сравнение экспериментальных результатов и симуляций показывает, что спин\д орбитальные конфигурации в состояниях НМ4 и~НМ6 близки к (\ref{eq:4}) и~(\ref{eq:5}), соответственно. Результаты минимизации суммы $\overline F_D\hm+F_\omega\hm+F_{rf}$ также хорошо описывают зависимость ЯМР\Д сигнала в состояниях НМ4 и~НМ6 от сдвига частоты и позволяют понять природу перехода между ними: по мере увеличения сдвига частоты $\omega_L\hm-\omega_{rf}$ минимум~(\ref{eq:4}) углубляется, а минимум~(\ref{eq:5}) сглаживается и, в зависимости от температуры и амплитуды РЧ\Д поля, либо исчезает при некотором сдвиге частоты, не приближаясь к конфигурации~(\ref{eq:4}), либо плавно переходит в конфигурацию, близкую к~(\ref{eq:4}). Упомянутый выше метод минимизации энергии не описывает, однако, все полученные на эксперименте состояния. Так, состояния, наблюдавшиеся в области $\omega_L\hm-\omega_{rf}<0$ (НМ1, НМ3,~НМ5), таким образом получить не удается, хотя они и возникают при численном моделировании. Симуляции также показали, что вектор орбитального момента~$\bf l$ в НМ\Д состояниях прецессирует вокруг~${\bf H}_0$ с частотой примерно 10~Гц, причем в состояниях НМ1 и~НМ5 ${\bf l}\perp{\bf H}_0$. В действительности из\Д за ориентирующего влияния стенок~$\bf l$, возможно, не прецессирует. Результаты численного моделирования, однако, практически не меняются, если в уравнения спиновой динамики добавить члены, фиксирующие направление проекции~$\bf l$ на плоскость, перпендикулярную~${\bf H}_0$. Одновременно с сигналом на основной частоте детектировались осцилляции продольной компоненты намагниченности с частотой $\frac12\omega_{rf}$ или~$\frac32\omega_{rf}$. В~состоянии НМ6 такие осцилляции были хорошо видны на обеих частотах (рис.3). Их амплитуда линейно зависела от температуры, что объясняется тем, что при температурах, близких к~$T_c$, $\Omega_B^2\hm\propto(1-T/T_c)$. При температуре~$0.98T_c$ амплитуда осцилляций сигнала на половинной частоте, пересчитанная с учетом параметров нашего спектрометра, составляла примерно $10^{-5}$ от максимальной амплитуды сигнала поперечного~ЯМР, что согласуется с полученными в симуляциях значениями и теоретическими оценками. В состоянии НМ3 амплитуды осцилляций на частоте $\frac12\omega_{rf}$ оказались заметно меньше и их удалось обнаружить только после усреднения 8~сигналов, последовательно записанных с продольной катушки. В других НМ\Д состояниях дробные гармоники не были обнаружены, причем мы пытались обнаружить такие сигналы также и на частотах, сдвинутых на несколько сотен герц от $\frac12\omega_{rf}$. Отсутствие дробных гармоник в состояниях НМ1 и~НМ5, возможно, объясняется тем, что согласно результатам численных симуляций в этих состояниях параметр порядка движется с частотой, заметно (на величину порядка $0.2\hm\div2$\,кГц) отличающейся от $\frac12\omega_{rf}$, причем это отличие меняется в зависимости от сдвига частоты. Из\Д за остаточной неоднородности внешнего магнитного поля эти осцилляции в разных частях экспериментальной ячейки должны быстро расфазироваться после формирования состояний. Причина отсутствия дробных гармоник в состоянии~НМ4 остается неясной. Согласно численным симуляциям, в этом состоянии (как и в состоянии~НМ6) частоты дробных гармоник практически не зависят от сдвига частоты и отличаются от $\frac12\omega_{rf}$ и $\frac32\omega_{rf}$ не более чем на 1\,Гц. В заключение отметим, что наблюдение ЯМР\Д гармоник с частотами $\frac12\omega_{rf}$ и $\frac32\omega_{rf}$ подтверждает правильность идентификации полученных нами НМ\Д состояний. Эти гармоники являются одним из проявлений движений параметра порядка сверхтекучего $^3$He\Д B в ЯМР\Д экспериментах и указывают на существование в НМ\Д состояниях прецессии на двух разных частотах: прецессии намагниченности на основной частоте и прецессии параметра порядка на частоте, в два раза меньшей. Авторы признательны И.\,А. Фомину и Г.\,А. Харадзе за полезные обсуждения. Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, Министерства Науки~РФ и грантов CRDF (RP1\ч 249) и INTAS (96\ч 0610). И.\,В.\,К. и Д.\,В.\,П. также благодарны Landau Scholarship (Forschungzentrum, J\"ulich) за финансовую поддержку. \begin{thebibliography}{9} \bibitem{bib:L} A.\,J. Leggett, Rev. Mod. Phys. {\bf 47}, 331 (1975). \bibitem{bib:F} I.\,A. Fomin, J. Low Temp. Phys. {\bf 31}, 509 (1978). \bibitem{bib:KV} G. Kharadze and G. Vachnadze, Письма в ЖЭТФ {\bf 56}, 474 (1992). \bibitem{bib:V} G.\,E. Volovik, J.Phys.: Cond.Matter {\bf 5}, 1759 (1993). \bibitem{bib:PRL} V.\,V. Dmitriev, I.\,V. Kosarev, M. Krusius et al., Phys. Rev. Lett. {\bf 78}, 86 (1997). \bibitem{bib:EDK} V.\,B. Eltsov, V.\,V. Dmitriev, M. Krusius et al., J. Low Temp. Phys. {\bf 113}, 645 (1998). \bibitem{bib:KSV} G.\,A. Kharadze, N.\,G. Suramlishvili, and G.\,E. Vachnadze, ФНТ {\bf 23}, 803 (1997). \bibitem{bib:KPT} J.\,M. Kyyn\"ar\"ainen, J.\,P. Pekola, K. Torizuka, et al., J. Low Temp. Phys. {\bf 82}, 325 (1991). \bibitem{bib:BC} W.\,F. Brinkman and M.\,C. Cross, in {\sl Progress in Low Temperature Physics}, Ed. D.\,F. Brewer, North Holland Publ. Co., Vol. VIIA, 1978, p.105. \end{thebibliography} \vfill\eject Рис.1. Сигналы дисперсии от состояний (помечены знаками) с неравновесной величиной намагниченности. Поглощение много меньше дисперсии и не показано. Частота $\omega_{rf}/2\pi\hm=1699$\,кГц. Стрелки показывают направление сканирования поля. Температуры оценены в предположении, что отогрев образца происходит линейно по времени Рис.2. Пример сигнала дисперсии (в единицах~$M_0$) для разных НМ\Д состояний, полученный в результате компьютерных симуляций. Сначала было получено состояние~НМ1, процесс образования которого не показан. Затем из этого состояния симулировалось прохождение линии при возрастании поля (направление прохода показано стрелкой). Частота $\omega_{rf}/2\pi\hm=1300$\,кГц; РЧ\Д поле\т 0.045\,Э; $T\hm=0.956T_c$; $\tau_{eff}\hm=4$\,мкс Рис.3. Сигнал дисперсии на частоте~$\omega_{rf}$ (внизу) и амплитуда сигнала на дробной ($\frac12\omega_{rf}$ и $\frac32\omega_{rf}$) частоте (вверху). Стрелка указывает направление сканирования поля. Рисунок (a)\т сигнал на частоте $\frac12\omega_{rf}$, $\omega_{rf}/2\pi=1699$\,кГц, добротность холодного контура $Q=7000$, $T\approx0.98T_c$; (b)\т сигнал на частоте $\frac32\omega_{rf}$, $\omega_{rf}/2\pi\hm=1308$\,кГц, $Q\hm=3600$ \end{document}